### 문제 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정오각형 $\mathrm{ABCDE}$에서 $\overline{\mathrm{AC}}$와 $\overline{\mathrm{BE}}$가 만나는 점을 $\mathrm{P}$라 할 때, $\overline{\mathrm{BP}}$의 길이는? ① $-2+2\sqrt{3}$ ② $-2+2\sqrt{5}$ ③ $-2+3\sqrt{5}$ ④ $-4+2\sqrt{5}$ ⑤ $-4+3\sqrt{5}$ --- ### 문제 유형 도형 --- ### 난이도 상 --- ### 풀이 과정 1. **각의 크기 구하기**: 정오각형의 한 내각의 크기는 $\dfrac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = 108^\circ$입니다. - $\triangle \mathrm{ABC}$는 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}=4$인 이등변삼각형이므로, $$\angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{BCA} = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$$ - $\triangle \mathrm{ABE}$는 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AE}}=4$인 이등변삼각형이므로, $$\angle \mathrm{ABE} = \angle \mathrm{AEB} = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$$ 2. **$\triangle \mathrm{ABP}$의 성질**: - $\triangle \mathrm{ABP}$에서 $\angle \mathrm{PAB} = 36^\circ$, $\angle \mathrm{PBA} = 36^\circ$이므로 $\triangle \mathrm{ABP}$는 이등변삼각형입니다. - 따라서 $\overline{\mathrm{BP}} = \overline{\mathrm{AP}} = x$라 둘 수 있습니다. - 또한, $\angle \mathrm{APB} = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 108^\circ$입니다. 3. **사각형 $\mathrm{PCDE}$의 성질과 선분의 길이**: - $\angle \mathrm{PCD} = \angle \mathrm{BCD} - \angle \mathrm{BCA} = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$ - $\angle \mathrm{PED} = \angle \mathrm{AED} - \angle \mathrm{AEB} = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$ - 맞꼭지각의 성질에 의해 $\angle \mathrm{CPE} = \angle \mathrm{APB} = 108^\circ$이고, 정오각형의 한 내각인 $\angle \mathrm{CDE} = 108^\circ$입니다. - 대각의 크기가 서로 같으므로 사각형 $\mathrm{PCDE}$는 평행사변형이며, $\overline{\mathrm{CD}} = \overline{\mathrm{DE}} = 4$이므로 마름모입니다. - 따라서 $\overline{\mathrm{PC}} = \overline{\mathrm{CD}} = 4$가 됩니다. - 그러므로 대각선 $\overline{\mathrm{AC}}$의 길이는 다음과 같습니다. $$\overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PC}} = x + 4$$ 4. **삼각형의 닮음을 이용한 방정식 세우기**: - $\triangle \mathrm{ABC}$와 $\triangle \mathrm{PAB}$는 세 각이 각각 $108^\circ, 36^\circ, 36^\circ$로 같으므로 서로 닮음($\mathrm{AA}$ 닮음)입니다. $$\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PAB}$$ - 대응변의 길이의 비를 세우면: $$\overline{\mathrm{AC}} : \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{BP}}$$ $$(x + 4) : 4 = 4 : x$$ $$x(x + 4) = 16$$ $$x^2 + 4x - 16 = 0$$ 5. **$x$의 값 구하기**: - 근의 공식을 적용하면: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 1 \times (-16)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{80}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{5}$$ - 길이는 양수이므로: $$x = -2 + 2\sqrt{5}$$ 따라서 $\overline{\mathrm{BP}}$의 길이는 $-2 + 2\sqrt{5}$입니다. --- ### 최종 답 ②