### 문제 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정오각형 $\mathrm{ABCDE}$에서 $\overline{\mathrm{AC}}$와 $\overline{\mathrm{BE}}$가 만나는 점을 $\mathrm{P}$라 할 때, $\overline{\mathrm{BP}}$의 길이는? ① $-2+2\sqrt{3}$ ② $-2+2\sqrt{5}$ ③ $-2+3\sqrt{5}$ ④ $-4+2\sqrt{5}$ ⑤ $-4+3\sqrt{5}$ ### 문제 유형 도형 ### 난이도 상 ### 풀이 과정 1. **각의 크기 구하기** 정오각형의 한 내각의 크기는 다음과 같습니다. $$\frac{180^\circ \times (5 - 2)}{5} = 108^\circ$$ 이등변삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{BC}} = 4$, $\angle \mathrm{B} = 108^\circ$이므로, $$\angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{BCA} = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$$ 마찬가지로 이등변삼각형 $\mathrm{ABE}$에서 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AE}} = 4$, $\angle \mathrm{A} = 108^\circ$이므로, $$\angle \mathrm{ABE} = \angle \mathrm{AEB} = 36^\circ$$ 2. **삼각형의 닮음 및 변의 관계 확인** $\triangle \mathrm{ABP}$에서: - $\angle \mathrm{PAB} = \angle \mathrm{CAB} = 36^\circ$ - $\angle \mathrm{PBA} = \angle \mathrm{EBA} = 36^\circ$ 두 밑각의 크기가 같으므로 $\triangle \mathrm{ABP}$는 이등변삼각형이며, $\overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BP}}$입니다. 또한, $\angle \mathrm{APB} = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 108^\circ$입니다. 따라서 세 각의 크기가 각각 $36^\circ, 36^\circ, 108^\circ$로 같은 두 삼각형은 닮음입니다. $$\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PAB} \quad (\mathrm{AA} \text{ 닮음})$$ 3. **선분의 길이 표현하기** 구하고자 하는 선분 $\overline{\mathrm{BP}}$의 길이를 $x$라 하면, $\overline{\mathrm{AP}} = x$입니다. 한편, $\triangle \mathrm{APE}$에서 $\angle \mathrm{PAE} = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$, $\angle \mathrm{AEP} = 36^\circ$이므로, $$\angle \mathrm{APE} = 180^\circ - (72^\circ + 36^\circ) = 72^\circ$$ 따라서 $\triangle \mathrm{APE}$는 $\overline{\mathrm{PE}} = \overline{\mathrm{AE}} = 4$인 이등변삼각형입니다. 정오각형의 모든 대각선의 길이는 서로 같으므로, $$\overline{\mathrm{AC}} = \overline{\mathrm{BE}} = \overline{\mathrm{BP}} + \overline{\mathrm{PE}} = x + 4$$ 4. **비례식 세우기 및 방정식 풀기** $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{PAB}$의 닮음비를 이용하면: $$\overline{\mathrm{AC}} : \overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{AB}} : \overline{\mathrm{BP}}$$ $$(x + 4) : 4 = 4 : x$$ $$x(x + 4) = 16$$ $$x^2 + 4x - 16 = 0$$ 근의 공식을 적용하면: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 1 \times (-16)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{5}$$ 길이는 항상 양수($x > 0$)이므로, $$x = -2 + 2\sqrt{5}$$ ### 최종 답 ②