### 문제 점 $\mathrm{P}(a, 1)$에서 원 $x^2+y^2+4x-2y-31=0$에 그은 접선의 길이가 $8$일 때, 양수 $a$의 값은? ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10 ### 문제 유형 도형 ### 난이도 중 ### 풀이 과정 1. **원의 방정식 표준형으로 변형하기:** 주어진 원의 방정식 $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 31 = 0$을 표준형으로 정리합니다. $$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 31 + 4 + 1$$ $$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 36 = 6^2$$ 따라서 원의 중심을 $\mathrm{C}$라 하면 $\mathrm{C}(-2, 1)$이고, 반지름의 길이는 $r = 6$입니다. 2. **접선의 길이와 피타고라스 정리 이용하기:** 점 $\mathrm{P}(a, 1)$에서 원에 그은 접선의 접점을 $\mathrm{T}$라 하면, 선분 $\mathrm{CT}$는 접선 $\mathrm{PT}$와 수직을 이루므로 $\triangle \mathrm{PTC}$는 $\angle \mathrm{PTC} = 90^\circ$인 직각삼각형입니다. 피타고라스 정리에 의해 다음이 성립합니다. $$\overline{\mathrm{PC}}^2 = \overline{\mathrm{PT}}^2 + \overline{\mathrm{CT}}^2$$ 접선의 길이 $\overline{\mathrm{PT}} = 8$, 반지름 $\overline{\mathrm{CT}} = 6$이므로 $$\overline{\mathrm{PC}}^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$$ 따라서 $\overline{\mathrm{PC}} = 10$입니다. 3. **점 $\mathrm{P}$와 중심 $\mathrm{C}$ 사이의 거리 구하기:** 두 점 $\mathrm{P}(a, 1)$과 $\mathrm{C}(-2, 1)$ 사이의 거리는 다음과 같습니다. $$\overline{\mathrm{PC}} = \sqrt{(a - (-2))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(a + 2)^2} = |a + 2|$$ 이 거리가 $10$이므로 $$|a + 2| = 10$$ $$a + 2 = 10 \quad \text{또는} \quad a + 2 = -10$$ $$a = 8 \quad \text{또는} \quad a = -12$$ 4. **조건에 맞는 $a$의 값 찾기:** 문제에서 $a$는 양수라고 하였으므로 $a = 8$입니다. ### 최종 답 ③ 8